شرایط جدید برای نوسان معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم با اصطلاحات خنثی زیر خطی

2 ،*، † و

موسسه آمار ریاضی Gheorghe Mihoc-Caius IACOB و ریاضیات کاربردی آکادمی رومانی ، 050711 بخارست ، رومانی

گروه ریاضیات و انفورماتیک ، دانشگاه Politehnica از بخارست ، 060042 بخارست ، رومانی

خلاصه

در کاربردهای مداوم در الکترودینامیک ، شبکه های عصبی ، مکانیک کوانتومی ، الکترومغناطیسی و میدان زمان متقارن ، دینامیک سیال ، معادلات دیفرانسیل خنثی هنگام مدل سازی بسیاری از مشکلات و پدیده ها ظاهر می شوند. بنابراین ، مطالعه رفتار کیفی راه حل های چنین معادلات جالب است. در این مطالعه ، ما شرایط کافی جدید را برای نوسانات به محلول های معادلات دیفرانسیل تأخیر مرتبه دوم با اصطلاحات خنثی زیر خطی بدست آوردیم. نتایج به دست آمده نتایج مربوط به ادبیات را بهبود می بخشد و تکمیل می کند. سرانجام ، ما مثالی برای اعتبارسنجی نتایج اصلی نشان می دهیم و یک مشکل باز گنجانده شده است.

1. معرفی

به خوبی شناخته شده است که معادلات دیفرانسیل کاربردهای زیادی برای مطالعه رشد جمعیت ، پوسیدگی ، قانون خنک کننده نیوتن ، جذب گلوکز توسط بدن ، گسترش اپیدمی ، قانون دوم حرکت نیوتن و گونه های متقابل (رقابت) دارند. چند نامآنها در مطالعه بسیاری از مشکلات دنیای واقعی ظاهر می شوند (به عنوان مثال ، [1،2،3]). ما همچنین تأکید می کنیم که مدل سازی این پدیده ها به طور مناسب توسط معادلات دیفرانسیل جزئی تحول آور تدوین می شوند ، و علاوه بر این ، رویکردهای مشکل لحظه ای نیز به عنوان یک ابزار طبیعی در تئوری کنترل سیستم های نوع خنثی ظاهر می شوند. به ترتیب به [4،5،6،7] مراجعه کنید.

در مرحله بعد ، ما برخی از تحولات فعلی در تئوری نوسان را برای معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم از نوع خنثی برجسته می کنیم.

سانترا و همکاران.[8] رفتار کیفی معادلات دیفرانسیل خنثی بسیار غیرخطی زیر را مورد مطالعه قرار داد:

و شرایط جدیدی را برای نوسان محلول (1) تحت یک اپراتور غیر کانون با دامنه های مختلف ضریب خنثی ایجاد کرد. در مقاله دیگری [9] ، سانترا و همکاران. برخی از قضیه های نوسان جدید برای معادلات دیفرانسیل نوع خنثی با تأخیرهای مختلط در زیر اپراتور متعارف با 0 ≤ P ایجاد شده است< 1 . By using different methods, the following papers, which have the same research topic as that of this paper, were conceed with the oscillation of various classes of half-linear/Emden Fowler differential equations with different neutral coefficients, e.g.: the paper [10] was conceed with neutral differential equations assuming that 0 ≤ p ( ϑ ) < 1 and p ( ϑ ) >1 جایی که P ضریب خنثی است. مقاله [11] به معادلات دیفرانسیل خنثی مربوط می شد با فرض اینکه 0 ≤ P (ϑ)< 1 ; the paper [12] was conceed with neutral differential equations assuming that p ( ϑ ) is nonpositive; the papers [13,14] were conceed with neutral differential equations in the case where p ( ϑ ) >1 ؛مقاله [15] به معادلات دیفرانسیل خنثی مربوط می شد با فرض اینکه 0 ≤ P (ϑ) ≤ P 0< ∞ and p ( ϑ ) >1 ؛مقاله [16] به معادلات دیفرانسیل خنثی در موردی که 0 ≤ P (ϑ) ≤ P 0 مربوط می شد< ∞ ; the paper [17] was conceed with neutral differential equations in the case when 0 ≤ p ( ϑ ) = p 0 ≠ 1 ; whereas the paper [18] was conceed with differential equations with a nonlinear neutral term assuming that 0 ≤ p ( ϑ ) ≤ p < 1 ).

برای اطلاعات بیشتر در مورد تئوری نوسان برای معادلات دیفرانسیل خنثی مرتبه دوم/معادلات دیفرانسیل ضربه ای ، خواننده را به مقالات ارجاع می دهیم [4،8،9،19،20،21،22،24،25،26،27، 28،29،30،31،32،33،34،35،36،37،38،39،40،41،42].

با انگیزه مطالعات فوق ، در این مقاله ، ما شرایط کافی جدید را برای نوسان راه حل ها برای معادلات دیفرانسیل غیر خطی مرتبه دوم در فرم ایجاد کردیم:

که در آن H (ϑ) = U (ϑ) + ∑ K = 1 N P K (ϑ) U ν K α K (ϑ) ، ν K ، برای همه K = 1 ، 2 ،… ، n و δ 1 و δ به نقل ازاعداد صحیح مثبت عجیب و غریب به گونه ای که:

β ، ν k ∈ C ([ϑ 0 ، ∞) ، r +) ، α k ∈ C 2 ([ϑ 0 ، ∞) ، r +) ، β (ϑ)< ϑ , α k ( ϑ ) < ϑ , lim ϑ → ∞ β ( ϑ ) = ∞ , lim ϑ → ∞ α k ( ϑ ) = ∞ , for all k = 1 , 2 , ⋯ , n ;

2. مقدمات

بگذارید (الف) - (د) برای ϑ ≥ ϑ 0 راضی باشد. اگر شما راه حل مثبت در نهایت (2) است ، پس ما داریم:

Let u be an eventually positive solution of (2). Hence, h ( ϑ ) > 0 , and for ϑ 0 ≥ 0 , we have u ( ϑ ) > 0 , u ( α k ( ϑ ) ) > 0 and u β ( ϑ ) >0 ، برای همه ϑ ≥ ϑ 0 و برای همه k = 1 ، 2 ، ⋯ ، n. از (2) ، ما به دست آوردیم:

بنابراین ، B (ϑ) H ′ (ϑ) δ 1 برای ϑ ≥ ϑ 0 افزایش نمی یابد. فرض کنید که B (ϑ) H ′ (ϑ) δ 1< 0 for ϑ ≥ ϑ 1 >ϑ 0از این رو ،

Therefore, b ( ϑ ) h ′ ( ϑ ) Δ 1 > 0 , for all ϑ ≥ ϑ 1 . From b ( ϑ ) h ′ ( ϑ ) Δ 1 > 0 and b ( ϑ ) > 0 , we have h ′ ( ϑ ) >0بنابراین ، لیم ثابت شده است.□

بگذارید (الف) - (د) برای ϑ ≥ ϑ 0 راضی باشد. اگر شما راه حل مثبت در نهایت (2) است ، پس ما داریم:

همانطور که در اثبات Lemma 2 انجام می شود ، ما (3) برای ϑ ≥ ϑ 1 داریم. از آنجا که ، B (ϑ) H ′ (ϑ) δ 1 در حال کاهش است ، ما داریم:

H (ϑ) ≥ ∫ ϑ ϑ 1 ϑ B (s) 1 / δ 1 H ′ (s) 1 b (s) 1 / δ 1 d s ≥ b (ϑ) 1 / δ 1 H ′ (ϑ) ∫ ϑ ϑ 1 ϑ1 B (S) 1 / δ 1 D S ≥ B (ϑ) 1 / δ 1 H ′ (ϑ) B (ϑ).

بگذارید (الف) - (د) برای ϑ ≥ ϑ 0 راضی باشد. اگر شما راه حل مثبت در نهایت (2) است ، پس ما داریم:

Let u be an eventually positive solution of (2). Hence, h ( ϑ ) >0 ، و 0 ≥ 0 ≥ وجود دارد که:

u (ϑ) = h (ϑ) - ∑ k = 1 n p k (ϑ) u ν k α k (ϑ) ≥ h (ϑ) - ∑ k = 1 n p k (ϑ) h ν k α k (ϑ) ≥ h(ϑ) - ∑ k = 1 n p k (ϑ) h ν k (ϑ) ≥ h (ϑ) - ∑ k = 1 n p k (ϑ) ν k h (ϑ) - (1 - ν k) = 1 - ∑ k =1 n ν k p k (ϑ) h (ϑ) - ∑ k = 1 n (1 - ν k) p k (ϑ)

using Lemma 1. Since h ϑ > 0 , h ′ ϑ > 0 , ω ( ϑ ) >0 و ω ′ (ϑ)< 0 , there is a ϑ 0 ≥ ϑ 1 such that:

Let (a) (d) be satisfied for ϑ ≥ ϑ 0 . If u is the eventually positive solution of (2), then for ϑ 1 > ϑ 0 and δ >0 ، ما آن را داریم:

Let u be an eventually positive solution of (2). Then, for ϑ 0 > 0 , we obtained that u ( ϑ ) > 0 , u ( α k ( ϑ ) ) > 0 and u β ( ϑ ) > 0 for all ϑ ≥ ϑ 0 and for all k = 1 , 2 , ⋯ , n . Therefore, there exists ϑ 1 > ϑ 0 such that Lemma 2 holds true and h satisfies (3) for ϑ ≥ ϑ 1 . From b ( ϑ ) h ′ ( ϑ ) Δ 1 >0 و عدم افزایش ، ما داریم:

از آنجا که lim ϑ → ∞ b (ϑ) = ∞ ، ما آن را داریم که (7) برای برخی از ثابت های مثبت δ وجود دارد. در مرحله بعد ، Lim ϑ → ∞ B (ϑ) H ′ (ϑ) δ 1 وجود دارد ، و ادغام (2) از ϑ تا L ، ما به دست آوردیم:

H (ϑ) ≥ ∫ ϑ 1 ϑ 1 b (κ) ∫ s ∞ q (ς) u δ (β (ς)) d ς 1 / δ 1 d κ ≥ ∫ ϑ 1 ϑ 1 b (κ) ∫ ϑ ∞q (ς) u δ (β (ς)) d ς 1 / δ 1 d κ = b (ϑ) ∫ ϑ ∞ q (ς) u δ (β (ς)) d ς 1 / δ 1.

3. قضیه های نوسان

فرض کنید که یک عدد صحیح مثبت مثبت ∇ 1 با 0 وجود دارد< Δ < ∇ 1 < Δ 1 and (a) (d) hold for ϑ ≥ ϑ 0 . If:

Let u be a solution of (2), and positive eventually. Therefore, for ϑ 0 > 0 , we have u ( ϑ ) > 0 , u ( α k ( ϑ ) ) > 0 , and u β ( ϑ ) > 0 , for all ϑ ≥ ϑ 0 , k = 1 , 2 , ⋯ , n . From Lemmas 2 and 5 for ϑ ≥ ϑ 1 > ϑ 0 , we concluded that h satisfies (3), (4), (7), and (8) for all ϑ ≥ ϑ 1 . We can find a ϑ 1 >0 به گونه ای که:

u Δ () ≥ q δ () h d - ∇ 1 () h ∇ 1 () ≥ q δ () (Δ b ()) δ - ∇ 1 h ∇ 1 () ≥ q d (ϑ) δ b (ϑ ϑ ϑ ϑ ) δ - ∇ 1 b () u 1 / δ 1 (ϑ) ∇ 1 = q δ (ϑ) δ δ - ∇ 1 b δ () u ∇ 1 / d 1 (ϑ).

برای 2 ϑ 2. از آنجا که ، u ′ () = - q () u δ (β ()) ≤ 0 برای ≥ ϑ ϑ 2 ؛

U D β (S) ≥ Q D β (S) δ δ - ∇ 1 B β β (S) U ∇ 1 / δ 1 (β (S)) ≥ Q δ β (S) δ δ - ∇ 1 B D B (S) ) U ∇ 1 / δ 1 (S).

∞ >u 1 - ∇ 1 / δ 1 (2) ≥ 1 - ∇ 1 δ 1 - ∫ ϑ ϑ ϑ u - ∇ 1 / δ 1 (s) u ′ (s) d s = 1 - ∇ 1 δ 1 ∫ ϑ 2 u - ∇ 1 / δ 1 (s) q (s) u δ (β (s)) d s ≥ 1 - ∇ 1 δ 1 δ (∇ 1 - δ) s) b d (β (s)) d s

فرض کنید که یک عدد صحیح مثبت مثبت ∇ 2 با δ 1 وجود دارد< ∇ 2 < Δ . Furthermore, assume that (a) (e) hold for ϑ ≥ ϑ 0 and b ( ϑ ) is non-decreasing. If:

Let u be an eventually positive solution of (2). Then, for ϑ 0 > 0 , we have u ( ϑ ) > 0 , u ( α k ( ϑ ) ) > 0 and u β ( ϑ ) > 0 for all ϑ ≥ ϑ 0 , k = 1 , 2 , ⋯ , n . Applying Lemmas 2 and 4 for ϑ ≥ ϑ 1 >ϑ 0 ، ما نتیجه گرفتیم که H رضایت (3) را برآورده می کند ، که H در حال افزایش است ، و u () ≥ q () h () ، برای همه ≥ ≥ 1. از این رو،

U Δ () ≥ q δ () H δ () ≥ q δ (ϑ) H D - ∇ 2 () H ∇ 2 () ≥ q δ () H D - ∇ 2 (1) H ∇ 2 ()

B (ϑ) H ′ () δ 1 ≥ H D - ∇ 2 (1) ∞ ∞ q (S) Q D β (S) D S H ∇ 2 (β ()) ≥ H D - ∇ 2 (° 1)

From (13) and (14), dividing by b ( β 0 ( ϑ ) ) h ∇ 2 ( β 0 ( ϑ ) ) >0 ، سپس از هر دو طرف قدرت 1 / D 1 را گرفتیم:

H ′ (β 0 ()) H ∇ 2 / δ 1 (β 0 ()) ≥ H D - ∇ 2 (ϑ 1) B (β 0 ()) ∫ ∞ q (S) Q D β (S) D S 1 / د 1

برای 2 ϑ 2. ضرب سمت چپ توسط B 0 ′ () / β 0 ≥ 1 و ادغام از 2 تا ϑ ، ما به دست آوردیم:

1 β 0 ∫ ϑ 2 ϑ H ′ (β 0 (S)) β 0 ′ (S) H ∇ 2 / δ 1 (β 0 (S)) D S ≥ H (δ - ∇ 2) / δ 1 (1) ∫ ϑ 2 ° 1 B (β 0 (s)) ∫ S ∞ q (k) q δ β (k) d k 1 / δ 1 d s ϑ ≥ ϑ 2.

1 β 0 (1 - ∇ 2 / δ 1) H 1 - ∇ 2 / δ 1 (β 0 (S)) S = 2 ≤ 1 β 0 (∇ 2 / δ 1 - 1) H 1 - ∇ 2 / δ 1 (β 0 (2)) ،

جایی که B (): ≡ ϑ + 1 ∈ R + و B () = log ϑ + 1 ϑ 1 + 1 ؛q (): ≡ ϑ 12 ≥ 0 ؛B (): ≡ ≡ 2< ϑ with lim ϑ → ∞ β ( ϑ ) = ∞ ; β 0 ′ ( ϑ ) >1 3 = β 0 ; Δ = 3 >D 1 = 1 ؛p k (): ≡ 1 ϑ 2 k ∈ R +؛N K: ≡ 2 K - 1 2 K + 1 و α K (): ≡ ϑ k + 1< ϑ with lim ϑ → ∞ α k ( ϑ ) = ∞ for k = 1 , 2 , ⋯ , n and ϑ ≥ 2 . For the index k = 1 , 2 and ω ( ϑ ) = 1 ϑ 2 , we have:

4- نتیجه گیری و مشکل باز

در این کار ، ما شرایط کافی جدید را برای نوسان معادلات دیفرانسیل خنثی مرتبه دوم با اصطلاحات خنثی زیر خطی ایجاد کردیم. در [10،11،12،13،14،15،16،18،35] ، نویسندگان شرایط کافی را برای انواع مختلف معادلات دیفرانسیل تأخیر خنثی ایجاد کردند. ما می توانیم ادعا کنیم که روشهای ما می تواند برای هر معادله دیفرانسیل تاخیر خنثی در صورت مثبت بودن ضریب خنثی کاربرد داشته باشد. مشکل انجام شده برای ضرایب خنثی منفی ناقص است. بررسی نوسان (2) با ضریب خنثی منفی با استفاده از LEMMAS 1-5 مورد توجه است. مورد بررسی قرار گرفتن نوسان (2) با ضرایب خنثی مختلف است. برای اطلاعات بیشتر ، به عنوان مثال ، به مقالات [10،12،13،14،15،16،17] مراجعه کنید. علاوه بر این ، تجزیه و تحلیل نوسان (2) با یک اصطلاح خنثی غیرخطی نیز جالب خواهد بود. برای اطلاعات بیشتر ، به عنوان مثال ، مقاله [18] را ببینید.

کمک های نویسنده

مفهوم سازی ، S. S. S. ، O. B. ، و M. P. ؛روش شناسی ، S. S. S. ، O. B. ، و M. P. ؛تحقیقات ، S. S. S. ، O. B. ، و M. P. ؛منابع ، S. S. S. ، O. B. ، و M. P. ؛CURATION DATA ، S. S. S. ، O. B. ، و M. P. ؛نوشتن - پیش نویس آماده سازی ، S. S. S. ، O. B. ، و M. P. ؛نوشتن - بررسی و ویرایش ، S. S. S. ، O. B. ، و M. P. ؛نظارت ، S. S. S. ، O. B. ، و M. P. ؛مدیریت پروژه ، S. S. S. ، O. B. ، و M. P. ؛کسب بودجه ، S. S. S. ، O. B. و M. P. همه نویسندگان نسخه منتشر شده نسخه خطی را خوانده و موافقت کردند.

منابع مالی

بیانیه هیئت بررسی نهادی

بیانیه رضایت آگاهانه

بیانیه در دسترس بودن داده ها

تصدیق

نویسندگان از داوران بخاطر نظرات مفیدشان تشکر می کنند که منجر به بهبود محتوای مقاله شد.

تضاد علاقه

منابع

1. Bainov ، D. D. ؛سیمونوف ، P. S. معادلات دیفرانسیل تکانشی: خصوصیات بدون علامت راه حل ها. سریال پیشرفت در ریاضیات برای علوم کاربردی ؛علمی جهانی: سنگاپور ، 1995 ؛دوره 28. [Google Scholar]
2. Lakshmikantham ، v. ؛Bainov ، D. D. ؛سیمونوف ، P. S. نظریه نوسان معادلات دیفرانسیل تکانشی ؛علمی جهانی: سنگاپور ، 1989. [Google Scholar]
3. آگاروال ، R. P. ؛O'Regan ، d. ؛Saker ، S. H. نوسان و پایداری مدل های تأخیر در زیست شناسی ؛انتشارات بین المللی اسپرینگر: نیویورک ، نیویورک ، ایالات متحده ، 2014. [Google Scholar]
4. لی ، T. ؛پینتوس ، ن. ؛Viglialoro ، G. خواص محلول برای مشکلات متوسط متخلخل با منابع مختلف و شرایط مرزی. Z. Angew. ریاضی. فیزیک2019 ، 70 ، 86. [Google Scholar] [CrossRef] [نسخه سبز]
5. لی ، T. ؛Viglialoro ، G. محدودیت برای یک مدل شیمی درمانی واکنش غیر محلی حتی در رژیم جذب شده. فرق داشتن. Eque Eque. 2021 ، 34 ، 315-336.[Google Scholar]
6. Viglialoro ، G. ؛Woolley ، T. E. قابلیت حل یک سیستم Keller-segel با حساسیت وابسته به سیگنال و در اصل تولید زیرزمینی. کاربردمقعد2020 ، 99 ، 2507 2525.[Google Scholar] [CrossRef] [نسخه سبز]
7. Infusino ، م. ؛Kuhlma ، S. مشکل لحظه ای بعدی نامحدود: سؤالات و برنامه های باز. مسلمریاضی. صبح. ریاضی. SOC. 2017 ، 697 ، 187 201.[Google Scholar]
8. Santra ، S. S. ؛Dassios ، I. ؛Ghosh ، T. در مورد رفتار بدون علامت یک کلاس از معادلات دیفرانسیل خنثی غیر خطی مرتبه دوم با تأخیرهای متعدد. Axioms 2020 ، 9 ، 134. [Google Scholar] [CrossRef]
9. Santra ، S. S. ؛Majumder ، د. ؛Bhattacharjee ، R. ؛Bazighifan ، O. ؛Khedher ، K. ؛مارین ، M. قضایای جدید برای نوسانات معادلات دیفرانسیل با تأخیرهای مختلط. تقارن 2021 ، 13 ، 367. [Google Scholar] [CrossRef]
10. آگاروال ، R. P. ؛Bohner ، M. ؛لی ، T. ؛ژانگ ، ج. یک رویکرد جدید در مطالعه رفتار نوسان معادلات دیفرانسیل تأخیر خنثی یکنواخت. کاربردریاضی. رایانه. 2013 ، 225 ، 787-794.[Google Scholar] [CrossRef]
11. آگاروال ، R. P. ؛ژانگ ، ج. ؛لی ، T. برخی اظهارات در مورد نوسان معادلات دیفرانسیل خنثی مرتبه دوم. کاربردریاضی. رایانه. 2016 ، 274 ، 178-181.[Google Scholar] [CrossRef]
12. Bohner ، M. ؛Li ، T. نوسان معادلات پویا P-Laplace مرتبه دوم با ضریب خنثی غیر مثبت. کاربردریاضی. کاهنده2014 ، 37 ، 72-76.[Google Scholar] [CrossRef]
13. Chatzarakis ، G. E. ؛گریس ، S. R. ؛Jadlovská ، من ؛لی ، T. ؛Tunç ، E. معیارهای نوسان برای معادلات دیفرانسیل Emden-Fowler مرتبه سوم با ضرایب خنثی بی حد و حصر. پیچیدگی 2019 ، 2019 ، 5691758. [Google Scholar] [CrossRef]
14. لی ، T. ؛Rogovchenko ، Y. V. معیارهای نوسان برای معادلات دیفرانسیل خنثی یکنواخت. کاربردریاضی. کاهنده2016 ، 61 ، 35-41.[Google Scholar] [CrossRef]
15. لی ، T. ؛Rogovchenko ، Y. V. نوسان معادلات دیفرانسیل خنثی مرتبه دوم. ریاضی. nachr2015 ، 288 ، 1150 1162.[Google Scholar] [CrossRef] [نسخه سبز]
16. لی ، T. ؛Rogovchenko ، Y. V. معیارهای نوسان برای معادلات دیفرانسیل خنثی Emden-Fowler مرتبه دوم. موناتریاضی. 2017 ، 184 ، 489-500.[Google Scholar] [CrossRef]
17. لی ، T. ؛Rogovchenko ، Y. V. در مورد رفتار بدون علامت راه حل ها به یک کلاس از معادلات دیفرانسیل خنثی غیرخطی مرتبه سوم. کاربردریاضی. کاهنده2020 ، 105 ، 106293. [Google Scholar] [CrossRef]
18. Džurina ، J. ؛گریس ، S. R. ؛Jadlovská ، من ؛Li ، T. معیارهای نوسان برای معادلات دیفرانسیل تأخیر Emden-Fowler مرتبه دوم با یک اصطلاح خنثی زیر خطی. ریاضی. nachr2020 ، 293 ، 910-922.[Google Scholar] [CrossRef]
19. Santra ، S. S. ؛قوش ، تی. ؛Bazigifan ، O. معیارهای صریح برای نوسان معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم با چندین ضرایب خنثی زیر خطی. مشاورفرق داشتن. Eque. 2020 ، 2020 ، 643. [Google Scholar] [CrossRef]
20. Santra ، S. S. ؛Bazighifan ، O. ؛احمد ، ح. ؛چو ، Y.-M. معادله دیفرانسیل مرتبه دوم: قضیه ها و برنامه های نوسان. ریاضی. PROBLمهندس2020 ، 2020 ، 8820066. [Google Scholar] [CrossRef]
21. Santra ، S. S. ؛Bazighifan ، O. ؛احمد ، ح. ؛Yao ، S.-W. معادله دیفرانسیل مرتبه دوم با تأخیرهای متعدد: قضیه ها و برنامه های نوسان. پیچیدگی 2020 ، 2020 ، 8853745. [Google Scholar] [CrossRef]
22. Bazighifan ، O. ؛Ruggieri ، م. ؛Scapellato ، A. معیار بهبود یافته برای نوسان معادلات دیفرانسیل مرتبه چهارم. ریاضیات 2020 ، 8 ، 610. [Google Scholar] [CrossRef]
23. Bazighifan ، O. ؛Ruggieri ، م. ؛Santra ، S. S. ؛Scapellato ، A. خصوصیات کیفی راه حل های معادلات دیفرانسیل خنثی مرتبه دوم. تقارن 2020 ، 12 ، 1520. [Google Scholar] [CrossRef]
24. برزانسکی ، ل. ؛Braverman ، E. نوسان معادلات دیفرانسیل تحریک کننده تأخیر خطی. ارتباطکاربردمقعد غیرخطی. 1996 ، 3 ، 61-77.[Google Scholar]
25. Diblik ، J. ؛Svoboda ، Z. ؛Smarda ، Z. اصل جمع آوری برای معادله دیفرانسیل عملکردی خنثی. مقعد غیرخطی. روشهای تئوری کاربردی. 2009 ، 71 ، 1393 1400.[Google Scholar] [CrossRef]
26. Santra ، S. S. ؛Alotaibi ، H. ؛Bazigifan ، O. در مورد رفتار کیفی راه حل های معادلات دیفرانسیل تأخیر خنثی مرتبه دوم. J. Ineq. کاربرد2020 ، 2020 ، 256. [Google Scholar] [CrossRef]
27. Diblik ، J. راه حل های مثبت معادلات دیفرانسیل تأخیر غیرخطی با تکانه ها. کاربردریاضی. کاهنده2017 ، 72 ، 16-22.[Google Scholar] [CrossRef]
28. لو ، ز. ؛جینگ ، ز. مشکل ارزش مرزی دوره ای برای معادلات دیفرانسیل عملکردی تحریک کننده مرتبه اول. رایانه. ریاضی. کاربرد2008 ، 55 ، 2094 2107.[Google Scholar] [CrossRef] [نسخه سبز]
29. Santra ، S. S. ؛Khedher ، K. M. ؛مواز ، ا. ؛Muhib ، A. ؛Yao ، S.-W. سیستم های دیفرانسیل تأخیر در مرتبه دوم: شرایط لازم و کافی برای رفتار نوسان یا بدون علامت. تقارن 2021 ، 13 ، 722. [Google Scholar] [CrossRef]
30. Santra ، S. S. ؛Khedher ، K. M. ؛Yao ، S.-W. جنبه های جدید برای نوسان سیستم های دیفرانسیل با تأخیرهای مختلط و انگیزه ها. تقارن 2021 ، 13 ، 780. [Google Scholar] [CrossRef]
31. Santra ، S. S. ؛ستی ، A. K. ؛مواز ، ا. ؛Khedher ، K. M. ؛Yao ، S.-W. قضیه های جدید نوسان برای معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم با اپراتور متعارف و غیر متعارف از طریق تحول Riccati. ریاضیات 2021 ، 9 ، 1111. [Google Scholar] [CrossRef]
32. یو ، ج. ؛یان ، J. راه حل های مثبت و رفتار بدون علامت معادلات دیفرانسیل تأخیر با تکانه های غیرخطی. J. Math. مقعدکاربرد1997 ، 207 ، 388-396.[Google Scholar]
33. Tripathy ، a. k. معیارهای نوسان برای یک کلاس از معادلات دیفرانسیل دیفرانسیل خنثی مرتبه اول. J. Appl. مقعدرایانه. 2014 ، 4 ، 89-101.[Google Scholar]
34. برزانسکی ، ل. ؛Domoshnitsky ، A. ؛Koplatadze ، R. نوسان ، غیروسکلاسیون ، پایداری و خصوصیات بدون علامت برای معادلات دیفرانسیل عملکردی مرتبه دوم و بالاتر. چاپمن و هال/CRC Press: Boca Raton ، FL ، USA ، 2020. [Google Scholar]
35. Chiu ، K.-S. ؛Li ، T. راه حل های نوسان و دوره ای معادلات دیفرانسیل با استدلال های مختلط عمومی ثابت. ریاضی. nachr2019 ، 292 ، 2153 2164.[Google Scholar] [CrossRef]
36. Tripathy ، a. k. ؛Santra ، S. S خصوصیات یک کلاس از سیستم های تحریک کننده خنثی مرتبه دوم از طریق ثابت پالس. فرق داشتن. Eque. کاربرد2017 ، 9 ، 87-98.[Google Scholar] [CrossRef] [نسخه سبز]
37. Tripathy ، a. k. ؛Santra ، S. S شرایط لازم و کافی برای نوسان یک کلاس از سیستم های تکانشی مرتبه دوم. فرق داشتن. Eque. dyn. syst2018.[Google Scholar] [CrossRef]
38. Santra ، S. S. ؛Tripathy ، a. k. در معادلات دیفرانسیل خنثی مرتبه اول نوسان با تکانه های غیرخطی. J. Appl. ریاضی. رایانه. 2019 ، 59 ، 257 270.[Google Scholar] [CrossRef]
39. Santra ، S. S. ؛دیکس ، J. G. شرایط لازم و کافی برای نوسان راه حل ها به معادله دیفرانسیل خنثی مرتبه دوم با تکانه ها. گل میخ غیرخطی. 2020 ، 27 ، 375-387.[Google Scholar]
40. Tripathy ، a. k. ؛Santra ، S. S در مورد سیستم های خنثی نوسان کننده تحریک آمیز اجباری مرتبه دوم. نوسانات غیرخطی 2020 ، 23 ، 274 288.[Google Scholar]
41. Tripathy ، a. k. ؛Santra ، S. S شرایط لازم و کافی برای نوسانات به معادلات دیفرانسیل خنثی مرتبه دوم با تکانه ها. کراگوجف. J. Math. 2023 ، 47 ، 81-93.[Google Scholar]
42. Bohner ، M. ؛حسن ، T. S. ؛Li ، T. Fite-Hille-Wintner از نوع نوسان از نوع برای معادلات پویا نیمه خطی مرتبه دوم با استدلال های انحرافی. Indagریاضی. 2018 ، 29 ، 548-560.[Google Scholar] [CrossRef]

یادداشت ناشر: MDPI با توجه به ادعاهای حوزه قضایی در نقشه های منتشر شده و وابستگی های نهادی خنثی می ماند.

به اشتراک گذاشتن و استناد

Santra ، S. S. ؛Bazighifan ، O. ؛Postolache ، M. شرایط جدید برای نوسان معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم با اصطلاحات خنثی زیر خطی. ریاضیات 2021 ، 9 ، 1159. https://doi. org/10. 3390/math91111159

Santra SS ، Bazigifan O ، Postolache M. شرایط جدید برای نوسان معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم با اصطلاحات خنثی زیر خطی. ریاضیات2021 ؛9 (11): 1159. https://doi. org/10. 3390/math91111159

شیکاگو/سبک تورابی

Santra ، Shyam Sundar ، Omar Bazighifan و Mihai Postolache. 2021. "شرایط جدید برای نوسان معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم با اصطلاحات خنثی زیر خطی" ریاضیات 9 ، شماره. 11: 1159. https://doi. org/10. 3390/math91111159

توجه داشته باشید که از اولین شماره سال 2016 ، این ژورنال از شماره های مقاله به جای شماره صفحه استفاده می کند. جزئیات بیشتر را در اینجا مشاهده کنید.