وابسته به فراکتال

در استفاده از محاوره ، یک فراکتال "یک شکل هندسی خشن یا تکه تکه شده است که می تواند در قطعات تقسیم شود ، که هر یک از آنها (حداقل تقریباً) یک کپی کاهش یافته/اندازه از کل" است. این اصطلاح توسط Benoît Mandelbrot در سال 1975 ابداع شد و از Fractus لاتین به معنی شکسته یا شکسته شده است.

• ساختار خوب در مقیاس های کوچک خودسرانه
• بیش از حد نامنظم است که به راحتی در زبان هندسی سنتی اقلیدسی توصیف می شود.
• خود مخفی است (حداقل از نظر تقریبی یا تصادفی)
• دارای یک بعد Hausdorff است که از بعد توپولوژیکی آن بیشتر است (اگرچه این نیاز توسط منحنی های پر کردن فضا مانند منحنی هیلبرت برآورده نمی شود)
• تعریف ساده و بازگشتی دارد.

با توجه به ظاهر آنها در تمام سطوح بزرگنمایی ، فراکتال ها اغلب "بی نهایت پیچیده" تلقی می شوند. نمونه های بارز شامل ابرها ، دامنه کوه و پیچ و مهره های صاعقه است. با این حال ، همه اشیاء شبیه به خود فراکتال نیستند-به عنوان مثال ، خط واقعی (یک خط اقلیدسی مستقیم) به طور رسمی خودکشی است اما از ویژگی های فراکتالی دیگر برخوردار نیست.

تاریخ

یک برف کچ ، محدودیت یک ساخت و ساز بی نهایت است که با یک مثلث شروع می شود و به صورت بازگشتی هر بخش خط را با یک سری از چهار خط خط جایگزین می کند که یک "دست انداز" مثلثی را تشکیل می دهد. هر بار که مثلث های جدید اضافه می شوند (تکرار) ، محیط این شکل با ضریب 4/3 رشد می کند و در نتیجه با تعداد تکرارها به بی نهایت منحرف می شود. بنابراین طول مرز Koch Snowflake بی نهایت است ، در حالی که منطقه آن محدود است. به همین دلیل ، برف کچ و ساخت و سازهای مشابه گاهی اوقات "منحنی های هیولا" خوانده می شدند.

اشیاء که اکنون به عنوان فراکتال توصیف شده اند قرن ها پیش کشف و توصیف شده اند. Ethnomathematics مانند Fractals آفریقایی Ron Eglash (ISBN 0-8135-2613-2) هندسه فراکتال فراگیر در کارهای هنری بومی آفریقا را توصیف می کند. در سال 1525 ، آلبرشت دورر ، هنرمند آلمانی ، دفترچه راهنما را منتشر کرد که در آن یک بخش در "الگوهای کاشی تشکیل شده توسط پنتاگون ها" قرار دارد. پنتاگون Dürer تا حد زیادی شبیه فرش Sierpinski بود ، اما بر اساس پنجه ها به جای مربع ها

ایده "خودخواهی بازگشتی" در ابتدا توسط فیلسوف لایب نیتس ساخته شده است و او حتی بسیاری از جزئیات را نیز تهیه کرده است. در سال 1872 ، کارل ویرستراس نمونه ای از عملکردی را با خاصیت غیرقانونی پیدا کرد که در همه جا به طور مداوم اما در هیچ کجا قابل تفاوت است - نمودار این عملکرد اکنون یک فراکتال نامیده می شود. در سال 1904 ، هلژ فون كوچ ، ناراضی از تعریف بسیار انتزاعی و تحلیلی ویرستراس ، تعریف هندسی تری از عملکرد مشابهی را ارائه داد ، كه هم اكنون برف كوچ نامیده می شود. در سال 1915 ، Waclaw Sierpinski مثلث خود و یک سال بعد فرش خود را ساخت. در واقع ، این فراکتال ها به عنوان منحنی توصیف شده اند که تحقق آن با ساخت و سازهای مدرن مشهور دشوار است. ایده منحنی های خودی توسط پل پیر لوی که در هواپیمای کاغذی یا منحنی ها و سطوح فضایی در سال 1938 خود و سطوح و سطوح و سطحی شبیه به کل ، یک منحنی فراکتالی جدید ، منحنی Lévy C را توصیف کرد ، بیشتر گرفته شد.

جورج کانتور نمونه هایی از زیر مجموعه های خط واقعی را با خصوصیات غیرمعمول ارائه داد - این مجموعه های کانتور نیز اکنون به عنوان فراکتال شناخته می شوند. عملکردهای تکراری در هواپیمای پیچیده در اواخر قرن نوزدهم و اوایل قرن بیستم توسط هنری پوینکره ، فلیکس کلین ، پیر فاتو و گاستون جولیا مورد بررسی قرار گرفته است. با این حال ، بدون کمک گرافیک رایانه ای مدرن ، آنها فاقد وسیله ای برای تجسم زیبایی بسیاری از اشیاء که کشف کرده اند.

در دهه 1960 بنوتی ماندلبروت شروع به تحقیق در مورد شفابتی بودن در مقالاتی از قبیل مدت زمان ساحل انگلیس کرد؟خود شفقت آماری و بعد کسری. این کار بر اساس کارهای قبلی لوئیس فرای ریچاردسون ساخته شده است. در سال 1975 ، ماندلبروت کلمه Fractal را ابداع کرد تا شیء را نشان دهد که بعد Hausdorff-Besicovitch از بعد توپولوژیکی آن بیشتر است. وی این تعریف ریاضی را با تجسم های برجسته رایانه ای نشان داد. این تصاویر تخیل محبوب را ضبط کردند. بسیاری از آنها مبتنی بر بازگشت بودند و منجر به معنای محبوب اصطلاح "فراکتال" می شدند.

مثال ها

یک کلاس نسبتاً ساده از مثالها توسط مجموعه های کانتور ، مثلث و فرش Sierpinski ، اسفنج منگر ، منحنی اژدها ، منحنی پر کردن فضا ، منحنی Koch ارائه شده است. نمونه های اضافی از فراکتال ها شامل فراکتال Lyapunov و محدودیت های گروه های کلاینی است. فراکتال ها می توانند قطعی (همه موارد فوق) یا تصادفی (یعنی غیر قطعی) باشند. به عنوان مثال مسیرهای حرکت براون در هواپیما دارای ابعاد Hausdorff 2 هستند.

سیستم های دینامیکی هرج و مرج گاهی اوقات با فراکتال ها همراه هستند. اشیاء موجود در فاز یک سیستم دینامیکی می توانند فراکتال باشند (به جذب کننده مراجعه کنید). اشیاء موجود در فضای پارامتر برای یک خانواده از سیستم ها نیز ممکن است فراکتال باشند. مثال جالب مجموعه Mandelbrot است. این مجموعه حاوی دیسک های کامل است ، بنابراین دارای ابعاد Hausdorff برابر با بعد توپولوژیکی خود از 2 است - اما آنچه واقعاً تعجب آور است این است که مرز مجموعه Mandelbrot همچنین دارای ابعاد Hausdorff 2 (در حالی که بعد توپولوژیکی 1) ، Aنتیجه توسط M. Shishikura در سال 1991 اثبات شد. یک فراکتال از نزدیک مجموعه جولیا است.

ابعاد شباهت

ابعاد شفابخش بودن ساده سازی بعد Hausdorff است که می تواند برای اشیاء دقیقاً خودی اعمال شود.

تجزیه و تحلیل زیر از برف Koch نشان می دهد که چگونه می توان از خود شفقت برای تجزیه و تحلیل خواص فراکتال استفاده کرد.

طول کل یک عدد ، n ، از مراحل کوچک ، L ، محصول NL است. با استفاده از Love Lokes koch Snowflake ، طول بی حد و حصر را می دهد زیرا L به صفر نزدیک می شود. اما این تمایز رضایت بخش نیست ، زیرا برف های مختلف کوچ اندازه های مختلفی دارند. یک راه حل برای اندازه گیری ، نه در متر ، متر و نه در متر مربع ، متر مربع ، بلکه در برخی از قدرت دیگر یک متر ، متر x است. اکنون 4 n (l /3) x = nl x ، زیرا سه برابر کوتاهتر طول ، همانطور که از شکل مشاهده می شود ، به چهار برابر بیشتر از مراحل نیاز دارد. حل این معادله x = (ورود به سیستم 4)/(ورود به سیستم 3) ≈ 1. 26186 را می دهد. بنابراین واحد اندازه گیری مرز برف کچ تقریباً M 1. 26186 است.

• مجموعه کانتور است<log 3>approx 0.63,!" />,
• واشر Sierpinski است<log 2>approx 1.58,!" />,
• فرش سیرپینسکی است<log 3>approx 1.89,!" />,

تولید فراکتال

• فراکتال های فرار-اینها توسط یک رابطه عود در هر نقطه در یک فضا (مانند هواپیمای پیچیده) تعریف می شوند. نمونه هایی از این نوع عبارتند از مجموعه Mandelbrot ، Julia Set ، Buing Ship Fractal و Lyapunov Fractal.
• سیستم های عملکردی تکرار شده - اینها یک قانون جایگزینی هندسی ثابت دارند. مجموعه کانتور ، فرش Sierpinski ، Gasket Sierpinski ، منحنی Peano ، Koch Snowflake ، منحنی اژدها Harter-Heighway ، T-Square ، Menger Sponge ، نمونه هایی از چنین فراکتال ها هستند.
• فراکتال های تصادفی - که توسط فرآیندهای تصادفی و نه قطعی تولید می شوند ، به عنوان مثال ، مسیرهای حرکت براون ، پرواز لوی ، مناظر فراکتال و درخت براون. دومی به اصطلاح فراکتال های جرم یا دندریتیک ، به عنوان مثال ، تجمع محدود به انتشار یا خوشه های تجمع محدود شده با واکنش.

طبقه بندی فراکتال ها

• خود شنی بودن دقیق-این قویترین نوع شفابخش بودن است. فراکتال در مقیاس های مختلف یکسان به نظر می رسد. فراکتال های تعریف شده توسط سیستم های عملکردی تکرار شده اغلب خودآگاهی دقیق را نشان می دهند.
• شبه خود احساس-این یک شکل گشاد از شفابخش بودن است. فراکتال در مقیاس های مختلف تقریباً (اما دقیقاً نه) یکسان ظاهر می شود. فراکتال های شبه خود شبیه به نسخه های کوچکی از کل فراکتال در اشکال تحریف شده و انحطاط هستند. فراکتال های تعریف شده توسط روابط عود ، معمولاً شبه خود شبیه به خود هستند اما دقیقاً شبیه خود نیستند.
• خودآگاهی آماری-این ضعیف ترین نوع شفابخش بودن است. فراکتال اقدامات عددی یا آماری دارد که در مقیاس ها حفظ می شود. بیشتر تعاریف معقول از "فراکتال" بی اهمیت حاکی از نوعی شفابخشی آماری است..

فراکتال ها در طبیعت

فراکتال های تقریبی به راحتی در طبیعت یافت می شوند. این اشیاء ساختار خود را بیش از یک محدوده مقیاس گسترده اما محدود نشان می دهند. نمونه ها شامل ابرها ، پوسته های برفی ، کوه ، شبکه های رودخانه ، گل کلم یا کلم بروکلی و سیستم رگ های خونی است.

درختان و سرخس ها از نظر ماهیت فراکتال هستند و با استفاده از یک الگوریتم بازگشتی می توانند بر روی رایانه مدل شوند. این طبیعت بازگشتی در این مثالها آشکار است - شاخه ای از یک درخت یا یک فرند از سرخس یک ماکت مینیاتوری کل است: نه یکسان ، اما از نظر طبیعت مشابه.

سطح یک کوه را می توان با استفاده از یک فراکتال بر روی یک کامپیوتر مدل کرد: با یک مثلث در فضای سه بعدی شروع کنید و نقاط مرکزی هر طرف را به صورت خط وصل کنید و در نتیجه 4 مثلث انجام شود. نقاط مرکزی سپس به طور تصادفی در یک محدوده مشخص به سمت بالا یا پایین حرکت می کنند. این روش تکرار می شود و در هر تکرار محدوده به نصف کاهش می یابد. ماهیت بازگشتی الگوریتم تضمین می کند که کل از نظر آماری شبیه به هر جزئیات است.

هنگام جدا کردن دو ورق اکریلیک پوشیده از چسب ، یک فراکتال تشکیل می شود.

<--img src="https://www.cs.mcgill.ca/rwest/wikispeedia/wpcd/images/250/25054.jpg" />

خرابی ولتاژ بالا در یک بلوک 4 ″ اکریلیک یک شکل فراکتال Lichtenberg ایجاد می کند.

<--img src="https://www.cs.mcgill.ca/rwest/wikispeedia/wpcd/images/250/25055.jpg" />

انشعاب فراکتال در یک DVD با مایع مایکروویو رخ می دهد

<--img src="https://www.cs.mcgill.ca/rwest/wikispeedia/wpcd/images/250/25056.jpg" />

کلم بروکلی رومانسکو که فراکتال های طبیعی بسیار خوبی را نشان می دهد

<--img src="https://www.cs.mcgill.ca/~rwest/wikispeedia/wpcd/images/250/25057.jpg" />

یک خوشه DLA که از یک محلول سولفات مس در یک سلول الکترودها رشد می کند